Построение базовых фигур с помощью циркуля и линейки — прямые линии, углы и правильные многоугольники

Построение отрезка, равного данному

Доступен сегмент компакт-диска. Задача состоит в том, чтобы нарисовать равноценный отрезок одинакового размера.

Создается радиус, который начинается в точке A. Компас измеряет существующий сегмент CD. Циркуль используется для построения отрезка, соответствующего первому отрезку, на том же начерченном радиусе от его начала (А).

Для такого рисунка ножку с иглой закрепляют в начале луча А и с помощью части со стержнем проводят дугу до точки касания луча. Эту точку можно обозначить как точку B.

Сегмент AB будет эквивалентен сегменту CD. Задача решена.

Задача 5 (построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Построить треугольник, сторона которого равна заданному отрезку a, а прилежащие к нему углы равны заданным углам hk и mq.

Даны отрезок а и два угла hk и mq (рис. 134, а). Требуется с помощью циркуля и измерительной линейки построить треугольник АВС, сторона которого, например АС, равна отрезку а, а углы ВАС и ВСА равны соответственно углам hk и mq.

Строительство.

1) Проведем прямую и на ней отложим отрезок АС, равный отрезку а (рис. 134, б).

2) Строим угол CAF равным углу hk.

3) Строим угол ACT равным углу mq.

4) Отметьте точку В пересечения лучей AF и ST. Востребован треугольник АВС (рис. 134, в).

Доказательство.

Из построения имеем, что AC = a,
БАК =
привет я
ACB =
кв.м.

Наука.

Для любого заданного сечения ai нерастянутых углов hk и mq возможна каждая из структур 1)-4), т е может быть построен искомый треугольник. Треугольники, удовлетворяющие условию задачи и построенные при различных выборах прямой и отрезка AC, равны по стороне и двум смежным углам, поэтому говорят, что эта задача имеет единственное решение.

Построение треугольника по трем элементам

В этом параграфе рассмотрим задачи построения треугольника по: а) двум сторонам и углу между ними; б) боковой и два смежных угла; в) три страницы.

Деление отрезка пополам

Есть эпизод АВ.

Сначала вы должны нарисовать окружность радиусом больше половины отрезка АВ с центром в точке А.

Затем рисуется окружность такого же радиуса с центром в точке B. На пересечении окружностей у нас есть точка C и точка D.

Проведите прямую через эти точки. Получаем брусок Е, который будет серединой отрезка АВ.

Задача 2 (построение серединного перпендикуляра к отрезку)

Постройте биссектрису, перпендикулярную данному отрезку AB.

Поиск решения.

Проведем рассуждения, которые помогут провести необходимое построение. Пусть построен центральный перпендикуляр а к отрезку АВ (рис. 131, а). Пусть точки F и D лежат на серединном перпендикуляре так, что OF = OD. Стороны прямоугольных треугольников FOB и DOB равны, поэтому BF = BD. Другими словами, точки F и D лежат на окружности 
(B, BF) и BF>OB. Аналогично, AF = AD, поскольку треугольник FOA равен треугольнику DOA. Более того, легко видеть, что AF = BF. Таким образом, точки F и D также лежат на окружности
(А, БФ).

Строительство.

1) Строим круги (А, Р) я
(В, Р), где Р 
АБ. Например, пусть R = AB:
(А, АВ) я (Б, АВ) (рис. 131, б).

2) Отмечаем точки F и D пересечения окружностей
(А, АВ) я (Б, АВ).

3) Тогда прямая FD является биссектрисой, перпендикулярной отрезку АВ. Давайте докажем это.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники FAD и FBD (рис. 131, в). Эти треугольники равны с трех сторон. Следовательно,
АФД = БФД. Отсюда следует, что в равнобедренном треугольнике AFD отрезок FO является биссектрисой, отсюда высота и медиана, т.е прямая FO является биссектрисой, перпендикулярной отрезку AB.

Построение угла, равного данному

Есть угол АВС.

Луч ED рисуется около угла. Затем будет нарисована окружность с центром в точке B. В результате получаются точки M и N.

Оставив решение компаса без изменений, нарисуйте окружность с центром в точке E. В точке касания находится точка K.

После изменения решения компаса на длину расстояния между точкой М и точкой N следует провести окружность с центром в точке К. В результате получится точка F. Затем из точки Е в точку проводится прямая F. Создается угол DEF, который будет эквивалентен углу ABC. Задача решена.

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка О лежит на прямой а.

Есть линия и точка на ней. Нарисуйте линию через существующую точку и под прямым углом к ​​существующей линии.

1. Шаг 1. Нарисуйте окружность произвольного радиуса r с центром в точке O. Окружность касается прямой в точках A и B.
2. Шаг 2. Из имеющихся точек строится окружность радиуса АВ. Точки C и D являются точками контакта колес.

Приложив линейку, проводят прямую через точку О и одну из точек С или точку D, например отрезок ОС.

Доказательство того, что линия OC перпендикулярна a.

Показаны два сегмента — AC и CB. Полученные треугольники будут равны по третьему критерию равенства треугольников. Значит, прямая СО перпендикулярна АВ.

Пример 2

Точка О находится вне линии а.

Из точки О начертите окружность радиусом r. Она должна проходить через прямую а. А и В — ее точки касания с прямой.

Выходя за прежний радиус, рисуем окружности с центром в точке А и точке В. Точка О1 является их точкой соприкосновения.

Проведем линию, соединяющую точку О и точку О1.

Доказательство выглядит так.

Две прямые OO1 и AB пересекаются в точке C. По третьему критерию равенства всех треугольников AOB = BO1A. Из этого вывода следует, что угол OAC = O1AC. Одноименные треугольники тоже будут равны (по первому критерию равенства всех треугольников).

Отсюда делаем вывод, что угол ОСА = О1СА, а учитывая близость углов, приходим к пониманию, что они прямые. Это означает, что ОС — перпендикулярный отрезок, падающий из точки О на прямую а. Задача решена.

Читайте также: Как нарисовать замок карандашом поэтапно: рекомендации для детей

Построение параллельных (непересекающихся) прямых

Есть линия и т д., ее нет на этой линии.

Необходимо отметить линию, проходящую через точку А и параллельную существующей линии.

На существующей линии выбирают случайную точку и называют ее В. С помощью циркуля строится окружность радиусом АВ с центром в точке В. На пересечении окружности и этой линии отмечается точка С.

Отступая от предыдущего радиуса, рисуется еще одна окружность, теперь с центром в точке С. При правильном расчете дуга должна проходить через точку В.

При том же радиусе АВ построена окружность с центром в точке А. Точку касания второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность с учетом точности расчетов также пройдет через точку Б.

Прямая проходит через стержень A и стержень D, которые станут параллельны первому. В результате получаются две параллельные линии BC и AD.

Задача решена.

Построение правильного треугольника, вписанного в окружность

Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:

Выделите отрезок АВ, длина которого будет равна а.

Сделайте круг. Поместите часть иглы в точку A и часть карандаша в точку B. Нарисуйте круг. В результате радиус окружности будет равен отрезку АВ.

Затем иглу помещают в точку В, а свинцовую часть в точку А. Будет нарисован круг. В результате его радиус будет равен длине отрезка АВ.

На рисунке окружности пересекаются в двух точках. Затем нужно соединить точку А и точку Б и одну из вышеперечисленных точек. В результате получится равносторонний треугольник.

Стороны такого треугольника соответствуют радиусам двух окружностей, равным длине а. Задача решена.

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Предполагая, что диагонали любого квадрата пересекаются в центре круга и находятся под углом 45 градусов к его оси, выполняются следующие действия. С помощью линейки и угла 45 градусов (см рисунок) отметьте вершины стержня 1 и стержня 3.

Через эти точки проведены отрезки, стороны четырехугольника, расположенные горизонтально. Это брусок 4 и брусок 1, брусок 3 и брусок 2. В конце линейкой и уголком вдоль ножки чертят линии вертикально (по высоте), отрезок бруска 1 — брусок 2 и отрезок бруска 4 — т 3.

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника делят полудуги окружностей между точками диаметра (см рисунок), то для получения результата необходимо: отметить точки с перпендикулярными диаметрами tA, tB и tC и провести дуги до касания друг друга.

Затем проводят прямые линии через точки соприкосновения дуг, которые выделены на чертеже линиями. Точками соприкосновения с окружностью будут вершины – это брусок 1 и брусок 3, брусок 4 и брусок 2. Эти вершины получившегося квадрата соединены друг с другом.

Задача решалась двумя способами.

Задача 3 (построение биссектрисы угла)

Постройте биссектрису данного угла ABC.

Поиск решения.

Предположим, что построена биссектриса ВЕ с заданным углом АВС (рис. 132, а). Пусть точки F и D лежат на сторонах угла так, что BF = BD, O = FD 
BE, а точка T лежит на радиусе, противоположном радиусу OB. Из равенства прямоугольных треугольников FOT и DOT (FO = OD, катет OT общий) следует, что FT = DT, т е точка T принадлежит окружностям с равными радиусами с центрами в точках F и D. После построения точки T , построим биссектрису BT с заданным углом.

Строительство.

1) Строим круг (B, R1) любого радиуса R1 с центром в вершине B с заданным углом (рис. 132, б).

2) Выберите точки F и D, где находится окружность (B, R) пересекает стороны BA и BC под заданным углом соответственно.

3) Строим круги (F, R2) и (D, R2), где R2 > FD Отметим точку T их пересечения, лежащую в пределах заданного угла.

4) Несем комплект БТ. Требуется луч BT. Давайте докажем это.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники BFT и BDT (рис. 132, в). Эти треугольники равны по трем сторонам (BF = BD и FT = DT — по построению, BT — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что ФБТ = DBT или радиус BT является биссектрисой ABC.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника

Поместите т. 1 на окружность, считая ее вершиной пятиугольника. Разделите сегмент АО пополам. Для выполнения аналогичной операции проводят дугу из точки А в точку касания окружности в точке М и точке В.

После нахождения определенных точек на прямой получаем точку К, а затем соединяем ее с точкой 1. Радиус, длиной которого является отрезок А1, изгибаем от точки К до точки касания с линией АО при точка Н. Затем соедините точку 1 и м. Н, чтобы образовалась одна из пяти сторон пятиугольника.

Возьмите циркуль, размер решения которого будет равен отрезку v.1 — v.H, проведите изгиб от v.1 до касания окружности. Таким образом, находятся вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, вы получите вершины 3 и 4. Наконец, все точки соединены друг с другом.

Миссия выполнена.

Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Решение такой задачи основано на свойствах, при которых сторона шестиугольника равна радиусу окружности.

Для расчетов окружность делится на шесть равных частей, а все полученные точки последовательно объединяются (см рисунок). Задача решена.